证明与反击
证明与反击
第二次数学分析课上，维兰德教授点评作业。他站在讲台前，手里拿着几份作业样本。 “大部分同学完成了基础题目，但最后一题挑战题”他举起一份作业，“只有两位同学给出了完整解答。有趣的是，其中一份的解答极其简洁优美，用了柯西收敛准则的变形。” 他翻到作业封面：“露娜·诺伊曼。” 教室里响起窃窃私语。我感觉到目光聚集过来。 “诺伊曼小姐的解答。”维兰德教授将我的作业投影到黑板上，“她将原问题转化为函数序列的一致收敛性证明，然后构造了一个巧妙的控制函数，用到了阿贝尔变换和狄利克雷判别法的思想。这在本科生中很少见。” 他停顿，目光投向我：“能请你简要解释一下思路吗？” 我站起来，走到黑板前。维兰德教授递给我粉笔。 “原题是证明一个含参变量反常积分的连续性。”我边写边说，“常规做法需要分段估计，计算复杂。我注意到积分核可以看作一个函数序列的极限，于是考虑证明该函数序列在参数区间上一致收敛到极限函数。为此，我构造了辅助函数g(x)，利用阿贝尔变换将原积分转化为g(x)与另一个函数的乘积的积分，然后应用狄利克雷判别法的一致收敛版本。最后，一致收敛性保证了极限函数的连续性。” 我写下关键不等式，标注每一步的逻辑依据。教室里很安静，只有粉笔敲击黑板的声音。 “完毕。”我放下粉笔。 维兰德教授审视着黑板上的推导，缓缓点头：“思路清晰，技巧运用得当。这确实是本科阶段不常见的解法。诺伊曼小姐，你之前学过实变函数？” “自学过一部分。” “自学。”维兰德重复这个词，语气复杂。 我回到座位。下课后，几个男生围到讲台前询问问题。我收拾东西准备离开时，一个声音叫住了我。 “诺伊曼小姐。” 一个高个子男生走过来，他叫马丁·韦伯，他手里拿着自己的作业本。 “我也解出了最后一题。”他将作业本翻开，展示他的解法。那是传统的分段估计法，写了整整三页，密密麻麻的不等式，“我看了你的解法，很巧妙。但我想知道，你真的自己想到的吗？还是参考了某些研究生级别的资料？” 他的声音不大，但周围没离开的人听得清。他们停下了动作，看向我们。 “我自己想的。”我说。 马丁笑了笑“巧合的是，我叔叔是数学系的研究员，他上周正好和我讨论过类似的问题，用了阿贝尔变换的思路。而你是班上唯一一个解法如此，研究生风格，的人。这让我不得不怀疑，你是否......恰好接触过同样的资料？” 暗示明确，我在作弊。 教室里彻底安静了。维兰德教授已经离开，但助教还在整理讲义，他抬起头，看向我们。 你的解法用了标准的分段估计，共用了十七个不等式，我的解法用了五个核心步骤，得到的界是O(1/n)。不仅更简洁，而且更精确。” 马丁的脸微微发红：“那只能说明你参考的资料更高级，不能说明是你独立思考的。” “那么，让我们现场测试一下。”我走向黑板，擦掉之前的推导，“请你提出一个类似的，但是非标准的问题。我来现场解答。如果我能用类似风格的简洁方法解决，是否就能证明我具备相应的思维能力？” 马丁愣住了。周围的学生们交换眼神，有人小声说：“这有点过分吧......” “或者，”我继续说，“我可以指出你解法中的一处冗余。”我指向他作业本的第三页，“这里，你用了柯西-施瓦茨不等式，得到了一个上界。但事实上，可以直接用积分第二中值定理得到更紧的界，从而省略后面三个不等式。你之所以没这么做，可能是因为你对积分第二中值定理在含参变量积分中的应用不熟悉。” 马克斯盯着自己的作业本，手指收紧。 “此外，”我拿起粉笔，在黑板上快速写下几行，“你的分段点选择在x等于根号下n分之一，这是经验性选择。但最优分段点应该是方程x^2*|f&039;(ξ_x)|=C的解，其中ξ_x是积分中值点。这需要解一个简单的微分方程，而你跳过了这一步，直接用了经验值。这导致你的最终误差界比最优界大了约30%。” 助教走过来，看了看黑板，又看了看男生的作业本，然后说：“诺伊曼小姐的分析是正确的。你的解法确实有优化空间。” 马丁一把抓起自己的作业本，塞进书包，头也不回地离开了教室。其他学生也陆续散去，没人再说话。 助教整理好讲义，走到门口时，回头看了我一眼：“诺伊曼小姐，你很优秀。但在这个环境里，有时候展示优秀也需要技巧。” 下午两点，我准时出现在高频电路实验室门口。带着菲利克斯的担保书，以及我的数学和物理自学笔记。 实验室很大，摆满了各种仪器：示波器、信号发生器、频谱分析仪、成排的真空管和电容电感。空气中有松香和金属的味道。 克劳斯教授站在一个工作台前，正在调试一台多频信号发生器。他抬头看了我一眼：“准时。很好。担保书带了吗？” 我递过去。他快速扫了一眼，哼了一声：“冯·福克斯家的孩子。我认识他父亲，一个精明的实业家。”他把担保书放在一边，“那么，测试开始。” 他从工作台上拿起一个电路板，上面焊接着电阻、电容和一个真空管。“这是一个简单的射频放大器电路。告诉我它的工作原理，以及如何计算电压增益。” 我仔细观察电路。共阴极结构，输入通过耦合电容接入栅极，输出从阳极取出。我说了思路，而后克劳斯教授要求具体的计算。 我给出了答案。 克劳斯先生点点头，表情没有变化。“如果我想让这个电路在10MHz频率下仍然有良好响应，需要调整什么？” “需要减小所有杂散电容的影响。使用管座电容小的真空管，缩短引线长度，必要时采用中和电路抵消极间电容反馈。负载电阻上并联一个小电容可以补偿高频滚降，但会引入相位偏移。” “示波器会用吗？” “理论上。实际cao作需要练习。” 克劳斯先生打开一台示波器的电源，调整旋钮，屏幕上出现了一条水平亮线。“校准信号是1kHz方波。调整垂直增益和时基，让屏幕上显示两个完整周期，幅度占屏幕的80%。” 我走到示波器前。旋钮的阻尼感很重，需要用力但又要精确。我调整垂直增益旋钮，让方波幅度适中，然后调节时基旋钮，让两个周期刚好填满屏幕的宽度。 “可以了。” 克劳斯先生检查了一下：“垂直增益1V/div，时基0.5ms/div。正确。最后一个问题。”他从抽屉里拿出一张纸，上面画着一个复杂的多级谐振电路，“分析这个电路。它是什么？有什么用途？” 我凝视着电路图。多个LC谐振回路通过电容耦合，每个回路的谐振频率略有不同。“这是一个带通滤波器组，或者更可能是一个超外差接收机的前端电路。多个谐振回路提供频率选择性，通过调谐可以覆盖不同频段。中间的真空管可能是混频器，将射频信号与本振信号混合，产生中频。” 克劳斯先生终于露出了笑容“正确。这是我在战争期间设计的无线电接收机的一部分，用于监听敌方通讯。你从哪里学的这些？” “自学。看了很多书，包括您1925年发表的《高频放大器中的稳定性问题》。” “那篇论文很专业，发行量很小。你在哪里找到的？” “柏林大学图书馆的工程文献区。我申请了特殊阅览许可。” 克劳斯先生沉默了一会儿，“欢迎加入我的课，诺伊曼小姐。但我必须警告你：我的实验室没有优待。如果你跟不上，我会让你离开。如果你表现出色，我会给你应有的认可。” “我明白。” 第一次高频电子电路实验课。 克劳斯教授站在讲台前，背后的黑板上画着今天的实验电路图——一个简单的矿石检波接收机。 “今天第一次实验，搭建并调试一个基本的检波接收机。 目标：接收柏林本地中波广播电台的信号，并用耳机监听。 实验报告要求：完整的电路图、元件参数计算、调试过程记录、以及最终接收到的电台频率和内容。” 克劳斯教授目光扫过实验室。“最多四个人一组，自行分组。” 其他同学立即开始寻找组员，熟悉的拍肩，早已约定很好的点头。 包括我在内，总共有37个学生。无论如何分组，必定有至少一组人数不同，考虑到实验和撰写报告的工作量，大多数人倾向于4人，那么余数为一将导致一个人落单。 考虑到我是唯一一个数学专业的学生，并且还是他们认为“无法胜任实验”的女生，我落单的概率极高。 我注意到有一个小组只有三个人，正在张望寻找第四名组员。 当我走近时，他们的谈话戛然而止。 ”我们能谈谈分组的事情吗？“ 一个人避开我的目光，看向旁边的同学，“理查德......” 理查德耸耸肩“抱歉，诺伊曼小姐，我们想确保今天能完成实验。我们三个人应该足够了，如果再加一个人，协作方面的压力可能变大...” ”我明白了“我转身走开。 我走向克劳斯教授。 “教授，我找不到小组。” “没人愿意和你一组？按规定，实验必须分组完成，如果你选择了这门课，就必须适应团队合作，工程不是单打独斗的领域。“ “如果允许，我可以独立完成实验，检波接收机的搭建一个人完全可以cao作，工作台和仪器足够。” “一个人完成四个人的工作，包括电路搭建、调试和报告攥写？”实验室传来窃笑声，理查德大声说“教授，让她自己试试，反正她那么自信。” 几个人跟着笑起来了。 “好，诺伊曼小姐，你独立一组，如果实验失败或者无法再规定的时间内完成，这门课你将被强制退选，明白吗？” 我走向角落的工具台，台面上已经摆放了实验所需的元件：矿石检波器、绕线线圈、可变电容器、耳机、天线和地线接口，以及各种电阻电容。旁边是焊接工具、万用表和示波器。 其他小组已经开始讨论分工。 “你来绕线圈，我负责焊接……” “检波器的灵敏度怎么调？” “天线长度要不要计算一下？” 我戴上护目镜，首先清点所有元件，检查是否有损坏或缺失。然后，我在实验手册的空白页上快速画出了电路连接图，标注了每个元件的参数和连接顺序。 第一步是线圈绕制。我需要一个电感量约为200微亨的空心线圈。根据公式L = (d2n2)/(18d 40l)，其中d是线圈直径，n是匝数，l是线圈长度。我选择了直径3厘米的线圈骨架，计算得出需要绕制约60匝，每匝间距约0.5毫米。 其他小组正在争论该绕多少匝。一个小组里，两名男生拿着计算尺争论不休；另一组则直接按照手册上的示例照片开始绕制，没有计算。 我用游标卡尺测量了骨架尺寸，在纸上快速计算出精确的匝数和间距。然后，我固定骨架，用0.3毫米的漆包线开始绕制。手指必须稳定，每一匝都要紧密但不过度挤压，间距要均匀。高频电路中，线圈的分布电容会严重影响谐振频率，任何不均匀都会导致性能下降。 十分钟后，线圈完成。我用万用表测量了直流电阻，估算电感量在205微亨左右——在允许误差范围内。 第二步是检波器的调节。矿石检波器是这个时代最简单的检波元件，利用方铅矿这样的晶体的单向导电性来检测无线电信号。关键是要找到晶体表面最敏感的“触点”。 我拿起检波器，仔细观察方铅矿晶体的表面。最灵敏的点通常位于晶体结构的缺陷处。我用细探针轻轻触碰不同位置，同时用万用表测量接触电阻的变化。 找到三个可能的触点后，我将检波器暂时固定，开始组装其他部分。 第三步是整体电路焊接。检波接收机的电路不难。天线接入LC谐振回路线圈与可变电容器并联，谐振回路输出连接检波器，检波器输出连接耳机。地线提供参考电位。 我在接线板上规划了最短的走线路径。高频电路中，过长的引线会引入额外电感和电容，降低效率。焊点必须圆润光滑，不能有毛刺或虚焊。 我专注于每一个焊点，确保熔化的焊锡完全包裹导线，冷却后形成光亮的锥形。 第四步是调试。我将天线接在实验室预设的天线端子上，地线接入地线接口，戴上耳机。 我调节调节可变电容器，使LC回路谐振在柏林本地的无线电台的频率。同时，微调检波器探针的压力和位置，找到最佳检波点。 我缓慢旋转可变电容器的旋钮，耳机里传来嘶嘶的静电噪声。当电容值接近谐振点时，噪声会发生变化。根据理论，谐振时回路阻抗最大，天线感应的信号电压会被最大程度放大。 细微的调整。电容旋钮转动一度，检波器探针移动十分之一毫米。 耳机里传出了清晰的声音。 “这里是柏林广播电台，接下来为您播放......” 成功了。 我看了墙上的钟，比预估提前了15分钟。 我记录好实验数据之后，开始撰写实验报告除了步骤和结果，我还增加了理论分析，并且给出了两个改进方案，提出了两个改进方案——如果用真空管放大检波后的音频信号，接收距离可增加多少；如果用更精密的可变电容器和预置刻度，调谐速度可提升多少。 克劳斯教授开始巡查各小组进度。 第一组还在调试检波器。“教授，我们听到一些声音，但完全听不清在说什么。” 克劳斯教授听了听，“你们没谐振在正确频率上。线圈太松，电感量不足，重绕。” 第二组已经能收到信号。“天线连接处焊接不良，高频阻抗太大，重新焊接。” 教授一路检查。 “诺伊曼小姐，你的进度如何？”他的声音不抱期望。 “实验已完成，报告已撰写。”我将耳机递给他。 ”清晰可辨，音量足够。“他放下耳机，开始检查电路。 他用放大镜检查焊点，用万用表测量关键点电阻，检查线圈绕制的均匀程度，甚至用测试探针轻轻触碰检波器触电，听耳机里的声音变化。 ”线圈绕制精度很高，焊点合格。“他拿起我的报告，快速浏览。”理论分析......还提出了改进方案？“ ”是的“ 克劳斯教授沉默了一分钟，仔细阅读我的报告。其他学生注意到了我这边的情况，交谈声低了下去。 “诺伊曼小姐，实验完成，结果优秀。她是今天第二个完成实验的小组。施耐德组比她早十分钟完成，质量合格，诺伊曼小姐独立完成的工作，质量优秀。” 理查德脸色涨红；“他一个人怎么可能比我们四个人还快，是不是...是不是她提前知道了什么？”“实验过程在实验室进行，所有原件我统一发放。你认为我在偏袒？” “不，但是......“ “没有但是。”克劳斯教授转向全班。“诺伊曼小姐的线圈绕制均匀，焊点合格，检波器调节精准，理论分析深入。如果你们有疑问，可以亲自检查她的电路和报告。” 几个学生凑过来查看我的工作台。 “真的......每一匝间距几乎完全相等。你怎么做到的？” “使用游标卡尺辅助，保持恒定张力。” 理查德也走过来，板着脸检查我的电路。他调试了我的可变电容器，耳机里的声音随之变化；他轻轻摇晃接线，没有出现接触不良的噪音。最终，他什么也没说，回到了自己的小组。 我要离开实验室. “诺伊曼小姐......等等。我是彼得·伯格，我想说……对不起。之前我对你有偏见。但你的工作确实很出色。我想问......你计算线圈参数时用的公式，能借我看看推导过程吗？我们组算了好久都没算准。” 我从笔记本上撕下一页，写下了线圈电感公式的推导过程。 彼得接过纸，仔细看了看。谢谢......下周实验，如果我们组还需要人......”他犹豫了一下，“我是说，如果你还是一个人......” ”我会根据情况决定。”我说，“但谢谢你的邀请。” 走出工程楼时，外面下雨了。菲利克斯撑着伞在楼外等我，手里拿着两杯热咖啡。 “怎么样？我听说今天分组实验。”他递给我一杯咖啡，”有人为难你吗？“ “有。但我解决了。”我喝了口咖啡，温热从喉咙蔓延到胃里，“我一个人一组，第二个完成，质量评价最高。” 菲利克斯笑了：“我就知道。你能把别人眼中的障碍变成展示能力的舞台。” 我向菲利克斯提到了数学分析课程和高频电子电路前面实验课的经历。提起来马丁·韦伯和理查德。 “韦伯家族是新兴的工业资本家，和民族社会主义工人党走得很近。他叔叔确实是数学系的研究员，叫弗兰克·韦伯，研究方向是泛函分析。这个人......学术水平一般，但很擅长钻营。” “钻营？” “他去年发表的一篇论文，被指出核心引理抄袭了法国数学家十年前的工作。但风波很快压下去了，据说有政治势力介入。而理查德的父亲是冲锋队的小头目，在柏林有点势力。他今天丢了面子，可能会记恨你。”菲利克斯压低声音，“现在大学里越来越复杂了，露娜。学术和政治的界限在模糊。“ “在学术领域，他们的记恨无意义。”我说，“只要我的成绩无可争议。” “但像他们这样的人，如果觉得你威胁到了他的地位或尊严，可能会用非学术的手段报复。” “比如？” “散布谣言，联合其他学生孤立你，甚至向教授施压。”，菲利克斯握住我的手，“不过别担心，我会保护你。如果需要，我可以让我父亲给学校董事会写封信，强调学术公平的重要性。” “暂时不需要。”我说，“公开动用家族势力可能会引发更大的反弹。目前最优策略仍然是在学术领域内建立不可动摇的地位。 菲利克斯凝视着我“如果情况恶化，我一定会帮你分担。我不希望你独自承受这些。” “我会的。” 我们撑伞走出学校，看着雨越下越大，看着街道上匆匆跑过的行人，看着电车在雨中驶过，看着柏林在1930年的秋天里，渐渐被灰色的雨幕笼罩。 在雨的间隙，建筑上新刷的标语清晰可见。 “一个民族，一个帝国，一个元首。”